Interpolación polinómica

interpolación polinómica (o polinomial) es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

Dada una función ${\displaystyle f}$ de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{m}}$, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio ${\displaystyle p_{m}(x)}$ de grado menor o igual a m, cumpliendo ${\displaystyle p_{m}(x_{k})=f(x_{k}),\ \forall k=0,1,...,m}$.

A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

(Düren, actual Alemania, 1805 - Gotinga, id., 1859) Matemático alemán. Cursó sus estudios en París, relacionándose con matemáticos como Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Carl Friedrich Gauss tras su muerte.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de los números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Joseph Fourier. Consiguió una demostración particular del problema de Pierre de Fermat, aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series.

En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano.

Trataremos en este post de ver cómo existen situaciones relativamente sencillas para las cuales la integral de Riemann no es aplicable.

Adelantamos que en ciertas situaciones aparecen funciones que no son riemann-integrables, y pusimos como ejemplo un problema de cálculo de probabilidades:

¿Cuál es la probabilidad de que eligiendo un punto del intervalo [0,1] al azar el punto elegido sea irracional?

Sea una función real de variable real definida en el intervalo [0,1], de la manera siguiente:

Esta función recibe el nombre de función de Dirichlet.

La función vale la unidad para todo punto de [0,1] irracional, y cero para todo punto racional de dicho intervalo. Por lo tanto, la función está definida para todo punto de [0,1].

La representación gráfica de esta función es un poco difícil: entre dos puntos racionales cualesquiera de [0,1] hay infinitos puntos irracionales, y la recíproca también es cierta, así que la gráfica de la función consta de una nube lineal de puntos de ordenada unidad y otra nube lineal de puntos de ordenada nula.

Cuál es el valor esperado de dicho experimento? Un uno es que hemos obtenido un irracional y un cero lo contrario. Cuando hablamos de la insoportable levedad del conjunto Q explicamos que a pesar de la aparente reciprocidad entre Q y R-Q (entre dos irracionales siempre hay infinitos racionales y viceversa), ambos tenían propiedades cardinales muy diferentes: Q es numerable y R-Q tiene la potencia del continuo. Los irracionales contenidos en [0,1] forman un conjunto incomparablemente mayor que los racionales, y esto nos legitima "de alguna manera" a concluir que la probabilidad de que resulte elegido un racional es nula.

Este "de alguna manera" es una vaga invocación a la ley de Laplace de casos favorables entre casos posibles, si bien entre dos conjuntos infinitos la cosa deja mucho de estar clara aunque la intuición resulta (esta vez) ser correcta.

Veamos que la integral de Riemann no nos sirve de gran ayuda en este aspecto. Intentemos integrar la función de Dirichlet por medio de las sumas superiores e inferiores definidas en el post anterior.

A poco que pensemos, vemos que en cualquier elemento de una partición del intervalo [0,1], por muy fina que sea habrá dos clases de puntos: los que tienen la función igual a uno y los que la tienen igual a cero.

Por lo tanto las sumas superiores suman la unidad, mientras que las inferiores son una suma de sumandos nulos, que es nula. No hay por tanto convergencia de las I(f,P) con las S(f,P) del post anterior.

Tenemos que I(f,P)=0 y S(f,P)=1 para cualquier partición P. Por ello I*(f) = 1 ≠ 0 = I*(f) y por lo tanto la función no es Riemann integrable. Como intuimos, la solución a este inconveniente vendrá desde la teoría de la medida...